TEK 3/2026 -lehdessä julkaistujen Pulmien, Sudokun ja Divisium-3:n ratkaisut
Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Topi Törmä, Sudoku: Arto Inkala, Divisium-3: Vesa Timonen
Voit pelata Divisium-3-pelejä myös verkkosivuillamme!
Kiitos ratkaisijoille!
Kiitos kaikille pulmia pohtineille. Saimme yhteensä 9 vastausta pulmiin. Palkinto on arvottu. Pulmakulmaan oikein vastasi ja palkinnon voitti Kari Lehtinen.
Lue lisää henkilötietojen käsittelystä
PULMA 1
Osoita, että yhtälöllä p³ – q³ = 2004 ei ole ratkaisuja positiivisten kokonaislukujen joukossa.
Lähde: Ukrainan kansallinen kilpailu 9.-luokkalaisille, 2004
Ratkaisu:
Kirjoitetaan p³ – q³ = (p – q)(p² + pq + q²). Lisäksi 2004 = 2² · 3 · 167.
Jos sekä p että q olisivat kolmella jaollisia, olisi 2004 yhdeksällä jaollinen. Tämä ei ole mahdollista. Jos sekä p että q antaa saman jakojäännöksen kolmella jaettaessa, niin kumpikin tulontekijä on kolmella jaollinen. Tämäkään ei ole mahdollista. Jos jakojäännös kolmella jaettaessa on eri, niin p-q ei ole kolmella jaollinen. Tällöin ei kuitenkaan ole toinenkaan tulontekijä kolmella jaollinen. (Tämän näkee helposti tarkastelulla modulo 3.) Ratkaisuja ei siis ole.
Tehtävän voi ratkaista myös esimerkiksi hyödyntämällä luvun 2004 alkutekijähajotelmaa ja testaamalla vaihtoehdot läpi.
PULMA 2
Tarkastellaan origokeskistä ympyrää, jonka säde on 2. Kirppu lähtee hyppimään ympyrän keskipisteestä yksikön pituisia hyppyjä siten, että se hyppää satunnaisesti koordinaatistossa ylös, alas, oikealle tai vasemmalle, kuhunkin suuntaan yhtä suurella todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä kirppu on viiden hypyn jälkeen ympyrän sisäpuolella tai reunalla?
Ratkaisu:
Koska kirppu hyppii yksikön pituisia hyppyjä, se on hyppyjensä jälkeen pisteessä, jonka koordinaatit ovat kokonaislukuja. Tällaisia pisteitä ympyrän sisällä tai reunalla ovat
Näistä ainoat pisteet, joihin voi päätyä parittomalla määrällä hyppyjä, ovat (1,0), (-1, 0), (0,1) ja (0,-1).
Tarkastellaan, kuinka monta viiden hypyn reittiä on pisteeseen (1,0). Jos kirppu hyppää tasan yhden hypyn oikealle, sen on lisäksi hypättävä kaksi hyppyä ylös ja kaksi alas. Nämä hypyt voidaan tehdä missä tahansa järjestyksessä, joten tällaisia reittejä on yhteensä
Jos kirppu hyppää tasan kaksi hyppyä oikealle, sen on lisäksi hypättävä yksi hyppy vasemmalle, yksi ylös ja yksi alas. Nämä hypyt voidaan taas tehdä missä tahansa järjestyksessä, joten tällaisia reittejä on yhteensä
Viimeinen mahdollisuus on, että kirppu hyppää tasan kolme hyppyä oikealle, jolloin sen on hypättävä kaksi hyppyä vasemmalle. Näitä reittejä on
Yhteensä pisteeseen (1,0) voi siis päästä 100 eri tavalla. Symmetrian nojalla myös pisteisiin (-1,0), (0,1) ja (0,-1) pääsee 100 eri tavalla, joten suotuisia hyppyreittejä on yhteensä 400. Kaiken kaikkiaan kirppu voi tehdä viiden hypyn sarjan
eri tavalla. Kysytty todennäköisyys on siis
PULMA 3
Tarkastellaan lukujonoa, joka alkaa positiivisesta kokonaisluvusta n. Lukujonon seuraava jäsen saadaan laskemalla edellisen jäsenen numerot yhteen ja kertomalla tulos kahdella. Osoita, että tällainen lukujono on lopulta jaksollinen kaikilla luvun n arvoilla, ja määritä kaikki mahdolliset jaksot.
Ratkaisu:
Koska
kun k>1 ja korkeimman kymmenen potenssin kerroin on nollasta poikkeava, ja
kun
niin lukujono on aidosti vähenevä, kunnes se saavuttaa arvon joukosta {1,2,...,19}. Riittää siis tutkia, miten jono jatkuu tämän joukon luvuilla. Luvusta 1 eteenpäin jono jatkuisi 1, 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2, 4,..., joten eräs jakso on 2, 4, 8, 16, 14, 10. Tähän jaksoon päädytään jaksossa esiintyvien lukujen lisäksi myös luvuista 5, 7, 11, 13, 17 ja 19. Luvusta 3 jono jatkuisi 3, 6, 12, 6, 12,..., joten 6, 12 on myös mahdollinen jakso. Tähän päädytään myös luvusta 15. Viimeinen mahdollinen jakso on yhden luvun jakso 18, johon päädytään myös luvusta 9.
PULMA 4
Olkoot x, y ja z positiivisia reaalilukuja, joilla x+y+z = 1. Osoita, että pätee
ja tutki, milloin yhtäsuuruus on voimassa.
Lähde: Matematiikan olympiavalmennus 2/81
Ratkaisu:
Otetaan epäyhtälön vasemmasta puolesta luonnollinen logaritmi ja tarkastellaan funktiota
Tämän toinen derivaatta on positiivinen, eli tämä on konveksi funktio. Siispä Jensenin epäyhtälön/konveksien funktioiden ominaisuuksien nojalla
Tämä todistaa väitteen. Koska funktio on aidosti konveksi, yhtäsuuruus pätee vain, kun x=y=z.
SUDOKU
DIVISIUM-3
TEK 2/2026 -lehdessä julkaistujen Pulmien, Sudokun ja Divisium-3:n ratkaisut
Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Topi Törmä, Sudoku: Arto Inkala, Divisium-3: Vesa Timonen
Voit pelata Divisium-3-pelejä myös verkkosivuillamme!
Kiitos ratkaisijoille!
Kiitos kaikille pulmia pohtineille, saimme yhteensä 14 vastausta pulmiin. Pahoittelut virheestä pulman 3 tehtävänannossa. Korjattu kohta alla lihavoituna. Moni oli virheen bongannut, kiitos lukijoille tarkkuudesta! Palkinto on arvottu, pulma 3:n vastaus ei vaikuttanut palkinnon arvonnan tulokseen. Pulmakulmaan oikein vastasi ja palkinnon voitti Aada Illikainen.
Lue lisää henkilötietojen käsittelystä: www.tek.fi/arvonta.
Muokattu 24.3.2026 klo 17.05: korjattu pulman 3 tehtävänantoa.
PULMA 1
Taikuri pyytää avustajaa heittämään kahta noppaa siten, että taikuri ei näe tuloksia. Taikuri kehottaa avustajaa kertomaan ensimmäisen silmäluvun kahdella ja lisäämään tulokseen luvun 7. Tämän jälkeen avustajan tulee vielä kertoa uusi tulos viidellä ja lisätä siihen toisen nopan silmäluku. Lopuksi avustaja kertoo taikurille laskujensa lopputuloksen. Miten taikuri voi tästä päätellä, mitkä olivat noppien silmäluvut?
Ratkaisu:
Olkoot noppien silmäluvut a ja b. Laskutoimitusten jälkeen avustaja on saanut luvun
Vähentämällä tästä luvusta 35 taikuri saa luvun 10a+b, jonka ensimmäinen numero on a ja toinen numero b.
PULMA 2
Ratkaise yhtälöpari
Lähde: Slovenia 2007, kansallisen kilpailun 1. kierros
Ratkaisu:
Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan
joka toiseen yhtälöön sijoittamalla antaa
Jos y=0, niin x=1 toteuttaa yhtälöparin. Muulloin y=1, jolloin x=0 tai y=-2, jolloin x=-3.
PULMA 3
Olkoot pisteet B ja C eri pisteet ympyrällä c, jonka keski-piste on A. Piirretään ympyrä d, jonka keskipiste on C ja säde BC, ja olkoon ympyröiden c ja d pisteestä B eroava leikkauspiste D. Piirretään vielä ympyrä e, jonka keskipiste on B ja säde BD, ja olkoon ympyröiden d ja e pisteestä D eroava leikkauspiste E. Osoita, että pisteiden E ja B kautta kulkeva suora on ympyrälle c pisteeseen B piirretty tangentti.
Ratkaisu:
Piirretään tilanteesta kuva:
Merkitään vielä piirrokseen joitakin apujanoja:
Koska AD=AB=AC ja DC=DB, niin kolmiot ADC ja ABC ovat yhtenevät (sss-yhtenevyys) ja tasakylkiset. Tällöin
ja
Kehäkulmalauseen nojalla
Edelleen kehäkulmalauseen nojalla
Koska kolmio DBE on tasasivuinen, niin kolmiot DEB ja CAB ovat yhdenmuotoiset, joten
Näiden nojalla
joten jana EB on kohtisuorassa sädettä AB vastaan, mikä todistaa väitteen.
PULMA 4
Osoita, että
kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n.
Ratkaisu:
Merkitään
missä n on positiivinen kokonaisluku. Tällöin on osoitettava, että
Näin todellakin on, sillä
SUDOKU
DIVISIUM-3
TEK 1/2026 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut
Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Topi Törmä, Sudoku: Arto Inkala
Voit pelata Divisium-3-pelejä verkkosivuillamme!
Kiitos ratkaisijoille!
Kiitos kaikille pulmia pohtineille! Saimme yhteensä 11 lukijalta ratkaisut TEK-lehden Pulmakulmaan 1/26 – suurkiitos teille! Pulmakulmaan oikein vastasi ja palkinnon voitti Tuomas Mylläri.
Lue lisää henkilötietojen käsittelystä: www.tek.fi/arvonta.
Muokattu 9.3.2026 klo 11.42: korjattu pulman 1 malliratkaisun viimeistä kaavaa.
PULMA 1
Elizabeth Pisani kuvailee kirjassaan The Wisdom of Whores: Bureaucrats, Brothels an the Business of AIDS, miten 90-luvulla kehittyneet maat oli saatava rahoittamaan aiempaa enemmän HIV- ja AIDS-tutkimusta ja -työtä. Eräänä ratkaisuna hän kuvailee, kuinka UNAIDS:n Global Reportiin laadittiin tilannekartta, jossa ei kuvailtukaan HIV-tapausten absoluuttisia määriä vaan suhteellista nousua edellisten vuosien aikana. Jos absoluuttiset luvut ovat kovin pieniä, voi suhteellinen muutos olla helposti kovinkin suuri.
Tarkastellaan nyt suhteellisia muutoksia kasvihuonepäästöjen yhteydessä. Wikipedia kertoo vuodesta 1990 vuoteen 2023 Suomen kasvihuonepäästöjen tippuneen asukasta kohti n. 47 %, Kiribatin päästöjen nousseen n. 121 % ja Kuwaitin päästöjen nousseen n. 56 %. Huomioidaan lisäksi, että asukasta kohti Kiribatin päästöt olivat n. 1 017 kg hiilidioksidiekvivalenttia, Suomen n. 7 711 kg hiilidioksidiekvivalenttia ja Kuwaitin 37 448 kg hiilidioksidiekvivalenttia. Jos kehitys jatkuisi samanlaisena, milloin Kiribati menisi Kuwaitista ohi? Kuinka suuret olisivat Suomen asukkaiden hiilidioksidipäästöt silloin?
Ratkaisu:
Selvitetään ensin, milloin Kuwaitin ja Kiribatin päästöt ovat tasoissa. Saadaan yhtälö
josta ratkaisuksi saadaan 10,3532. Tämä vastaa siis sitä, että kuluisi noin
vuotta, eli n. vuonna 2365 Kiribati menisi Kuwaitista ohi. Suomen päästöt olisivat tällöin
kg hiilidioksidiekvivalenttia.
PULMA 2
Kestävän kehityksen kannalta on tärkeää käyttää materiaaleja tehokkaasti.
a) Kuljetuslaatikko muodostuu seinistä, kannesta ja pohjasta, johon kuluu nelinkertainen määrä pahvia laatikon muihin tahkoihin verrattuna. Mitkä sivujen suhteiden on oltava, jotta pahvia kuluu mahdollisimman vähän?
b) Erästä tuotetta pakataan kuution muotoisiin rasioihin ja yhteen kuljetuslaatikkoon halutaan mahtuvan 500 rasiaa siten, että laatikkoon ei jää tyhjää tilaa. Kuljetuslaatikko valmistetaan kuten edellisessä kohdassa. Mitkä laatikon mittojen on oltava, jotta pahvia kuluisi mahdollisimman vähän? Yksikkönä on yhden rasian sivun pituus.
c) Tuote pakataan litran rasioihin, joiden korkeus on 1 dm ja tilavuus litra. Rasioita on kahta mallia: kuutio ja ympyräpohjainen lieriö. Pohja, seinät ja kansi ovat yksinkertaisia. Pakataan 50 rasiaa tiivisti kahteen kerrokseen kuljetuslaatikkoon, 25 rasiaa kerrosta kohti. Kuutiorasiat laitetaan 5x5-ruudukkoon ja ympyräpohjaiset rasiat oheisen kuvan mukaisesti. Kun kuljetuslaatikon seinät ovat samaa materiaalia kuin rasiat, pohja on kaksinkertainen ja kantta ei ole, kumpi tapa käyttää vähemmän pakkausmateriaalia?
Ratkaisu:
a) Olkoon korkeus c ja pohjan mitat a ja b. Optimoitava lauseke on siis 5ab+2ac+2bc. Aritmeettis-geometrisen epäyhtälön perusteella
Yhtäsuuruus vallitsee, kun 5ab=2ac, 2ac=2bc ja 5ab=bc, eli a=b=2c/5.
b) Olkoot laatikon mitat kokonaisluvut a, b ja c, joille pätee abc=500. Oletetaan, että a on korkeintaan b ja b korkeintaan c. Koska pohjaan kuluu enemmän materiaalia kuin muihin tahkoihin, niin pohjan pinta-alan on oltava ab, jotta materiaalia kuluisi mahdollisimman vähän. Minimoitava lauseke on siis edellisen kohdan tapaan 5ab+2ac+2bc. Alla olevaan taulukkoon on listattu kaikki vaihtoehdot luvuille a, b ja c sekä laskettu tutkittavan suureen arvo. Nähdään, että pahvia kuluu mahdollisimman vähän, kun laatikon mitat ovat a=5, b=5 ja c=20.
c) Käytetään yksikkönä desimetriä ja neliödesimetriä. Kuutiorasian materiaalitarve on 6 ja, koska niitä on 50, on niiden yhteenlaskettu pakkausmateriaalitarve 300. Koska pakkauslaatikon pohja on kaksinkertainen, on sen tarve 50 ja seinien yhteenlaskettu tarve 40, eli yhteensä 390.
Ympyrälieriön pohjan säde on
Laatikon sivujen pituudet ovat
Seinien ja pohjan materiaalitarve on siis yhteensä
Yhteensä materiaalitarve on siis ympyrälieriöpakkauksilla n. 385, eli ympyräpakkaukset ovat tehokkaampi tapa pakata.
PULMA 3
Sähköverkkoja voidaan mallintaa pisteistä (esim. voimalaitos, sähkökeskus, muuntaja, kuluttaja) ja niitä yhdistävistä viivoista (sähkölinjat ja -johdot) koostuvilla verkoilla eli graafeilla. Eräässä 10 sähkökeskuksen muodostamassa verkossa kaikki keskukset ovat yhteydessä toisiinsa. Pahassa myrskyssä kolmasosa keskusten välisistä yhteyksistä katkeaa. Mikä on suurin määrä sähkökeskuksia, jotka varmasti ovat tämän jälkeen vielä kaikki suoraan yhteydessä toisiinsa?
Ratkaisu:
Huomataan aluksi, että kolmen sähkökeskuksen on oltava yhteydessä toisiinsa. Koska jäljellä on 30 yhdistävää linjaa, on ainakin jostain keskuksesta lähdettävä ainakin 6 linjaa. Jos mitkä tahansa näistä keskuksista ovat yhteydessä toisiinsa, on kolmen yhteydessä olevan keskuksen joukko löytynyt. Jos mitkään kaksi eivät ole, on näiden keskusten oltava yhteydessä vain ulkopuolelle jääneisiin keskuksiin. Tällaisia yhteyksiä on korkeintaan kuudesta keskuksesta kolmeen keskukseen, eli yhteensä 18 yhteyttä. Yhteensä siis voisi olla jäljellä korkeintaan 24 linjaa. Koska jäljellä on 30 linjaa, niin joidenkin kolmen sähkökeskuksen on oltava kaikkien yhteydessä toisiinsa.
Osoitetaan seuraavaksi, että mitkään neljä sähkökeskusta eivät välttämättä ole yhteydessä kaikki toisiinsa. Tämä tapahtuu esimerkiksi seuraavassa tapauksessa:
Tässä verkossa sähkökeskukset A, H, I ja J on yhdistetty sähkökeskuksiin B, C, D, E, F ja G (yhteensä 24 linjaa). Tämän jälkeen keskukset B, C, D, E, F ja G on laitettu sykliin (6 linjaa). Keskusten A, H, I ja J välillä ei ole yhteyksiä. Nämä neljä eivät siis muodosta yhdistettyä joukkoa, eikä voi olla yhdistettyä joukkoa, missä olisi yli yhtä näistä keskuksista. Koska keskukset B, C, D, E, F ja G ovat keskenään vain syklinä, ei pelkästään niistäkään voi muodostua neljän yhdistettyä joukkoa. Myöskään sellaista yhdistettyä joukkoa ei ole, jossa olisi yksi keskuksista A, H, I ja J ja kolme keskuksista B, C, D, E, F ja G, koska mitkään kolme keskuksista B, C, D, E, F ja G eivät ole kaikki yhteydessä toisiinsa.
SUDOKU
