Vanhojen Pulma-tehtävien lähteitä
TEK 2/2024 -lehdessä julkaistujen Pulmien, Sudokun ja Divisium-3:n ratkaisut
Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Esa Vesalainen, Sudoku: Arto Inkala, Divisium-3: Vesa Timonen
PULMA 1
Ongelma: Olkoon k positiivinen kokonaisluku. Onko olemassa positiivista kokonaislukua N, jolle kertoma N! päättyy
nollaan?
Ratkaisu: Kun N on positiivinen kokonaisluku, de Polignacin kaava kertoo, että kertoman N! alkutekijähajotelmassa esiintyy
kappaletta mitä tahansa tiettyä alkulukua p. Jos luvun N! alkutekijähajotelmassa esiintyy a kappaletta alkulukua 2, ja b kappaletta alkulukua 5, niin kertoma N! päättyy luonnollisesti min{a,b} nollaan. Koska de Polignacin kaavan summa on vähenevä alkuluvun p kasvaessa, päättyy N! aina b nollaan. Toisaalta, voimme samalla todeta, että luvun N kasvaessa eksponentti b on myös kasvava.
Kertomassa
esiintyy lopussa
nollaa. Tämä on enemmän kuin toivottu nollien lukumäärä. Toisaalta, edellisessä kertomassa
esiintyy lopussa k+1 nollaa vähemmän, eli vähemmän kuin toivottu määrä nollia. Siten millään kertomalla ei esiinny toivottua määrää loppunollia.
PULMA 2
Ongelma: Olemme löytäneet söpön ruuvikäyrän, joka koostuu pisteistä (cos2πt, sin2πt, t), missä t käy läpi kaikki reaaliluvut. Onko olemassa tasasivuista kolmiota, jonka jokainen kärki olisi ruuvikäyrällämme?
Ratkaisu: Merkitkäämme jokaiselle reaaliluvulle t P(t) = (cos2πt, sin2πt, t), ja tarkastelkaamme kolmea pistettä P(-t), P(0) ja P(t), kun t kasvaa arvosta t=0 arvoon t=1/2. Symmetrian vuoksi pisteiden P(t) ja P(0) välinen etäisyys f(t) on yhtä suuri kuin pisteiden P(-t) ja P(0) välinen etäisyys. Lisäksi f(t) muuttuu jatkuvasti, kun t kasvaa arvosta 0 arvoon 1/2. Toisaalta pisteiden P(t) ja P(-t) välinen etäisyys g(t) muuttuu niin ikään jatkuvasti, kun t kasvaa arvosta 0 arvoon 1/2. Koska P(±1/4) = (0, ±1, ±1/4), ja P(±1/2) = (-1, 0, ±1/2), on
ja g(1/2)=1. Toisaalta,
ja
. Koska f(t) ja g(t) riippuvat jatkuvasti muuttujasta t, mutta niiden suuruusjärjestykset ovat vastakkaiset välin [1/4,1/2] päätepisteissä, täytyy olla olemassa reaaliluku t, jolle 1/4<t<1/2 ja f(t)=g(t). Tälle t ruuvikäyrämme pisteet P(-t), P(0) ja P(t) muodostavat kuin muodostavatkin tasasivuisen kolmion kärjet.
PULMA 3
Ongelma: Mikä on lukujen
keskinäinen suuruusjärjestys?
Ratkaisu: Lukuja voi vertailla mukavasti, jos ne kirjoittaa kahden potensseina:
Luvut olivat jo siis valmiiksi laskevassa suuruusjärjestyksessä, missä viimeiset kaksi lukua ovat yhtä suuret.
PULMA 4
Ongelma: Tarkastellaan oheista kuviota. Lähtökohtana on neliö, jonka sivun pituus on 8. Neliön jokaisesta kulmasta on poistettu suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituudet ovat 1. Tämän jälkeen kärkipisteet on yhdistetty neliön keskustaan ja saadut ohuet kiilat on maalattu sinisiksi. Määritä sininen pinta-ala.
Ratkaisu: Alkuperäisen neliön pinta-ala on 64. Kulmista on poistettu yhteensä 2 yksikön verran. Kuviossa harmaana näkyvien kolmioiden kannat ovat 6 ja korkeudet 4. Niiden yhteenlaskettu ala on siis 48. Kiilojen ala on siis 64-2-48=14.
SUDOKU
DIVISIUM-3
Nyt voit pelata Divisium-3-pulmapeliä myös verkossa: www.tek.fi/fi/uutiset-blogit/ratkaise-divisium-3
