Sudoku, pulmat ja Divisium-3

Vanhojen Pulma-tehtävien lähteitä

TEK 1/2024 -lehdessä julkaistujen Pulmien, Sudokun ja Divisium-3:n ratkaisut

Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Esa Vesalainen, Sudoku: Arto Inkala, Divisium-3: Vesa Timonen

PULMA 1

Ongelma: Olkoot a(1), a(2), ..., a(2023) luvut 1, 2, ..., 2023 jossakin järjestyksessä. Olkoot samoin b(1), b(2), ..., b(2023) niin ikään luvut 1, 2, ..., 2023 jossakin järjestyksessä, samoin c(1), c(2), ..., c(2023). Mitä voit sanoa tulon (a(1) + b(1) + c(1)) (a(2) + b(2) + c(2)) · · · (a(2023) + b(2023) + c(2023)) parillisuudesta?

Ratkaisu: Tulo on aina parillinen! Nimittäin, jos se olisi pariton, olisi tulontekijän a(k)+b(k)+c(k) oltava pariton jokaisella k=1,2,...,2023. Silloin jokaisessa tulontekijässä olisi pariton määrä parittomia termejä, ja koska tulontekijöitä on pariton määrä, olisi tulossa oltava kaiken kaikkiaan pariton määrä parittomia termejä. Tulossa esiintyy täsmälleen kolme kertaa niin monta paritonta lukua kuin luvuissa 1, 2, ..., 2023, eli näiden lukujen joukossa pitäisi olla pariton määrä parittomia lukuja. Mutta parittomia lukuja näiden joukossa ovat 1, 3, ..., 2023, joita on täsmälleen 1 012 kappaletta.

PULMA 2

Ongelma: Kahden muuttujan x ja y reaalikertoiminen polynomi P(x,y) on symmetrinen, jos P(x,y) = P(y,x). Etsi kaikki reaalikertoimiset polynomit Q(x,y), joille sekä Q(x+1,y) että Q(x,y+1) ovat symmetrisiä polynomeja.

Ratkaisu: Voimme aluksi todeta, että Q(y+2,x) = Q(x+1,y+1) = Q(y,x+2), mistä välittömästi seuraa, että mille tahansa reaalivakiolle c pätee Q(x,c-x) = Q(x+2,c-(x+2)), jolloin polynomi Q(x,c-x) on jaksollinen, ja siten vakiopolynomi. Toisin sanoen, jokaisella reaalivakiolla c on Q(x,y) vakio sillä suoralla, jonka eräs yhtälö on x+y = c. Jos siis määrittelemme R(x) = Q(x,0), niin silloin on välttämättä oltava Q(x,y) = R(x+y).

Toisaalta, jos R(x) on mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi, niin polynomille Q(x,y) = R(x+y) pätee sekä Q(x+1,y) = R(x+1+y) = R(y+1+x) = Q(y+1,x) että Q(x,y+1) = R(x+y+1) = R(y+x+1) = Q(y,x+1). Siispä kysytyt polynomit Q(x,y) ovat täsmälleen polynomit muotoa R(x+y), missä R(x) on mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi.

PULMA 3

Ongelma: Kolme pistettä A, B ja C sijaitsevat samalla suoralla siten, että piste B on pisteiden A ja C välissä. Pisteistä X, Y ja Z mikään ei ole suoralla AC, pisteet X ja Y ovat samalla puolella suoraa AC, ja piste Z on eri puolella suoraa AC kuin pisteet X ja Y. Olettakaamme, että kulmat AXB, BYC ja CZA ovat teräviä, ja että niiden summa on 180 astetta. Osoita, että kolmioiden ABX, BCY ja ACZ ympäripiirretyt ympyrät kulkevat saman pisteen kautta.

Pulman 3 ongelmaa avaava kuvio.

Ratkaisu: Olkoon S kolmioiden ABX ja BCY ympäripiirrettyjen ympyröiden toinen leikkauspiste. Koska kulmat AXB ja BYC ovat teräviä, on S samalla puolella suoraa AC kuin pisteet X ja Y. Kehäkulmalauseen nojalla kulmat AXB ja ASB ovat yhtä suuria, samoin kulmat BYC ja BSC. Koska nyt kuperassa nelikulmiossa ASCZ kärkien S ja Z kulmien summa on 180 astetta, niin kyseessä täytyy olla jännenelikulmio, ja olemme valmiita.

PULMA 4

Ongelma: Shakkilaudalle sijoitetaan umpimähkään 8 tornia. Mikä on todennäköisyys, että mitkään kaksi eivät uhkaa toisiaan?

Ratkaisu: Tornit voi asetella binomikertoimen 64 yli 8 eri tavalla laudalle. Toisaalta, tornit eivät uhkaa toisiaan täsmälleen silloin, kun mitkä tahansa kaksi niistä on eri rivillä ja eri sarakkeella, ja tällaisia asetteluita on 8! kappaletta. Siten kysytty todennäköisyys on

Pulman 4 ratkaisu.

SUDOKU

Sudokun ratkaisu 2024 lehti numero 1.

DIVISIUM-3

Divisium-3 ratkaisu, lehti 1-24.

TEK 5/2023 -lehdessä julkaistujen Pulmien, Sudokun ja Divisium-3:n ratkaisut

Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Esa Vesalainen, Sudoku: Arto Inkala, Divisium-3: Vesa Timonen

PULMA 1

Ongelma: Kuvassa on kaksi puoliympyrää, joista pienemmän halkaisija on isomman säde, sekä jänne, joka sivuaa pienempää puoliympyrää. Jos pienemmän puoliympyrän säde on pituudeltaan neliöjuuri kahdesta, kuinka pitkä on jänne?

Pulman 1 ongelman havainnollistava kuvio.

Ratkaisu:  Jos piirrämme kaksi apujanaa, niin kuvioon syntyy kaksi keskenään yhdenmuotoista suorakulmaista kolmiota:

Pulman 1 ratkaisua havainnollistava kuvio.

Pienemmässä on hypotenuusan pituus 3r ja lyhyempi kateetti r, missä r on pienemmän puoliympyrän säteen pituus, jolloin toisen kateetin pituus on 4. Kysytty jänteen pituus on vastaava kateetti isommassa suorakulmaisessa kolmiossa. Koska suorakulmaisten kolmioiden hypotenuusojen pituuksien suhde on 3:4, on jänne siis pituudeltaan 16/3.

PULMA 2

Ongelma: Mitä viisi positiivista reaalilukua voivat olla, jos niiden summa on 25 ja niiden käänteislukujen summa on 1?

Ratkaisu: Olkoot luvut a, b, c, d ja e. Aritmeettis-harmonisen epäyhtälön nojalla 25 = (a+b+c+d+e)*(1/a+1/b+1/c+1/d+1/e) >= 5²/(1/a+1/b+1/c+1/d+1/e)*(1/a+1/b+1/c+1/d+1/e) = 25. Koska epäyhtälössa vallitsee yhtäsuuruus, on oltava a=b=c=d=e. Nyt ainoa mahdollisuus on, että a=b=c=d=e=5, joka on kuin onkin ratkaisu.

PULMA 3

Ongelma: Konstruoimme reaaliluvun x kirjoittamalla nollan, desimaalipilkun, ja desimaalipilkun jälkeen peräkkäin kaikki luvun 3 potenssit: x = 0,1392781243729... Onko tämä luku rationaalinen vai irrationaalinen?

Ratkaisu: Osoittautuu, että x on irrationaalinen. Jos se olisi rationaalinen, olisi sen desimaalikehitelmän päättymättömänä alettava jostakin desimaalista lähtien toistamaan jotakin äärellisen monen desimaalin jonoa. Tarkastelkaamme tilannetta, jossa tässä toistuvassa jonossa olisi k desimaalia. Osoitamme, että luvun x desimaalikehitelmässä esiintyy äärettömän monta kertaa k peräkkäistä nollaa, jolloin toistuva desimaalien jono voisi koostua vain ja ainoastaan nollista, vastoin sitä, että luvun x desimaalikehitelmä on
päättymätön.

Tarkastelkaamme luvun 3 potenssien 3, 3², 3³, ... jakojäännöksiä luvulla 10⁽ᵏ⁺¹⁾ jaettaessa. Koska mahdollisia jakojäännöksiä on vain äärellisen monta erilaista, kun taas luvun 3 potensseja äärettömän monta, on joillakin kahdella eri luvun 3 potenssilla oltava sama jakojäännös. Olkoot kaksi tällaista potenssia vaikkapa 3ᵃ ja 3ᵇ, missä a ja b ovat kokonaislukuja, joille a>b. Erotuksen 3ᵃ-3ᵇ täytyy silloin olla jaollinen luvulla 10⁽ᵏ⁺¹⁾. Mutta koska 3ᵃ-3ᵇ = 3ᵇ(3⁽ᵃ⁻ᵇ⁾-1)$, ja koska luvut 3ᵇ ja 10⁽ᵏ⁺¹⁾ ovat yhteistekijättömiä, on erotuksen 3⁽ᵃ⁻ᵇ⁾-1 oltava luvulla 10⁽ᵏ⁺¹⁾ jaollinen, jolloin potenssin 3⁽ᵃ⁻ᵇ⁾ jakojäännös luvulla 10⁽ᵏ⁺¹⁾ jaettaessa on 1.

Nyt potenssin 3⁽ᵃ⁻ᵇ⁾ viimeiset numerot ovat 00...01, missä 0 esiintyy ainakin k kertaa. Luonnollisesti myös luvun 3⁽ᵃ⁻ᵇ⁾ potenssit päättyvät niin ikään vähintään k nollaan ja yhteen ykköseen. Siten olemme osoittaneet, että luvun x desimaalikehitelmässä esiintyy äärettömän monta k peräkkäisen nollan jonoa, ja luvun x on oltava irrationaalinen.

PULMA 4

Ongelma: Männystä tehdään joulukoriste tekemällä ensin neljä ympyräpohjaista kartiota. Niiden korkeus on 6 cm ja pohjan halkaisija myös 6 cm. Kolmesta kartiosta sahataan pois ylimmät 3 cm. Tämän jälkeen osat kiinnitetään yhteen. Männyn tiheys on noin 400 kg/m³. Mikä on koristeen paino?

Piirretty kuusi.

Ratkaisu: Neljän alkuperäisen kartion yhteenlaskettu tilavuus on

Pulman 4 ensimmäinen laskutoimitus.

Poistettavien pienten kartioiden yhteenlaskettu tilavuus on

Pulman 4 toinen laskutoimitus.

Koristeen paino on siis

Pulman 4 kolmas laskutoimitus.

SUDOKU

Sudokun ratkaisu 2023 lehti numero 5.

DIVISIUM-3

Divisium-3 ratkaisu.

Vanhojen Pulma-tehtävien lähteitä

TEK 4/2023 -lehdessä julkaistujen Pulmien, Sudokun ja Divisium-3:n ratkaisut

Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Esa Vesalainen, Sudoku: Arto Inkala, Divisium-3: Vesa Timonen

PULMA 1

Ongelma: Oheisessa kuvassa on yksikköneliö, joka on jaettu ensin kolmeen yhtä suureen osaan pystysuuntaan, ja sen jälkeen neljään yhtä suureen osaan pystysuuntaan. Samat jaot on tehty myös vaakasuuntaan. Näin on saatu jaettua alkuperäinen neliö moneksi pieneksi suorakulmioksi.

  • a) Laske näistä pienimmän ala.
  • b) Tarkastellaan nyt jakoa, jossa on ensin jaettu k yhtä suureen osaan ja sitten k+1 yhtä suureen osaan sekä pysty­suunnassa että vaakasuunnassa. Perustele, miksi kuvioon ei voi muodostua suorakulmiota, jonka ala on pienempi kuin 1 / (k²(k+1)²).
TEK 4 -lehden pulmaan numero 1 liittyvä kuvio.

Ratkaisu:

  • a) Pienimpiä suorakulmioita on neljä. Niistä lähinnä vasenta alanurkkaa on se, joka on muodostunut, kun on piirretty 1/3 ja 1/4 etäisyydelle vasemmasta alanurkasta janat. Kumpaankin suuntaan janojen erotus on 1/3 - 1/4 = 1/12, joten neliön ala on 1/144.
  • b) Pienempää suorakulmiota ei voi muodostua, sillä pystysuorien janojen y-koordinaatit ovat muotoa a/k tai a/(k+1), missä a on jokin kokonaisluku. Jos kummankin nimittäjä on k, on erotus vähintään 1/k ja jos kummankin nimittäjä on k+1, on erotus vähintään 1/(k+1). Jos taas y-koordinaatit ovat a/k ja b/(k+1), on erotuksen itseisarvo |(k+1)a-kb|/(k(k+1)). Osoittaja on nolla tai positiivinen kokonaisluku. Jos se on nolla, ei suorakulmiota ole olemassakaan. Jos se on positiivinen kokonaisluku, on se vähintään 1. Siispä suorakulmion korkeus on vähintään 1/(k(k+1)). Vastaava raja saadaan leveydelle. Siispä ala on vähintään 1/(k²(k+1)²).

PULMA 2

Ongelma: Olkoot a, b, c ja d reaalilukuja, joista minkään kolmen summa ei häviä, ja joille

TEK 4 -lehden pulmaan numero 2 liittyvä summa.

Osoita, että

TEK 4 -lehden pulmaan numero 2 liittyvä summa.

Ratkaisu: Jos kerromme oletuksen yhtälön kertaalleen kullakin luvuista a, b, c ja d, ja sitten laskemme näin saadut yhtälöt puolittain yhteen, saamme pienellä sievennyksellä

TEK 4 -lehden pulman numero 2 ratkaisuun liittyvä summa.

PULMA 3

Ongelma: Oheisen laatikkopyramidin alimman kerroksen neljään ruutuun kirjoitetaan kuhunkin lukua yksi suurempi kokonaisluku. Tämän jälkeen loput ruudut täytetään niin, että jokaiseen tulee kahden alla olevan ruudun lukujen tulo. Jos tiedämme oheisen kuvan kahden ruudun luvut, voimmeko selvittää niiden avulla loputkin ruudut?

TEK 4 -lehden pulmaan numero 3 liittyvä taulukko.

Ratkaisu: Jos alimman rivin ruuduissa olevat luvut ovat a, b, c ja d, niin taulukko täytetään silloin näin:

TEK 4 -lehden pulmaan numero 3 ratkaisuun liittyvä taulukko.

Koska 143 = 11*13, ovat luvut c ja d jossakin järjestyksessä 11 ja 13. Koska ylimmän ruudun luvun alkutekijähajotelma on 5*7³*11³*13, ei c voi olla 13, koska muutoin ylimmän ruudun pitäisi olla jaollinen luvun 13 kuutiolla, mitä se ei ole. Täten siis c=11 ja d=13. Nyt voimme laskea, että a*b³ = 5*7³. Tietenkään b ei voi olla jaollinen luvulla 5, koska luvun 5 kuutio ei jaa oikeaa puolta, joten a on viidellä jaollinen. Luvun b on pakko olla jaollinen luvulla 7, ja nyt ei ole jäljellä muuta vaihtoehtoa kuin, että a=5 ja b=7. Taulukko näyttää täytettynä tältä:

TEK 4 -lehden pulmaan numero 3 ratkaisuun liittyvä toinen taulukko.

PULMA 4

Ongelma: Carlalla on iso kasa resistoreita, joiden resistanssi on R. Hän juottaa niitä toisiinsa kiinni niin, että ne muodostavat ikosaedrin särmät. Mikä on kahden vastakkaisen kärjen väliin jäävän resistorihäkkyrän impedanssi?

TEK 4 -lehden pulmaan numero 4 liittyvä ikosaedri.

Ratkaisu: Olkoot A ja B kaksi vastakkaista kärkeä ikosaedriresistorihäkkyrässä. Kytkekäämme häkkyrä virtalähteeseen, joka syöttää piiriin virran I. Kärkeen A liittyvien resistorien toiset päätypisteet ovat samalla jännitetasolla, joten näiden jälkimmäisten päätypisteiden väliset resistorit voi poistaa piiristä. Samoin kärkeen B liittyvien resistorien toisten päätypisteiden väliset resistorit voi poistaa. Pisteestä A lähtevien resistorien läpi kulkee symmetrian vuoksi jokaisessa virta I/5. Samoin pisteeseen B päättyvissä resistoreissa. Loppujen kymmenen resistorin läpi kulkee symmetrian vuoksi virta I/10. Siten kärkien A ja B välinen jännite-ero on RI/5+RI/10+RI/5 = RI/2, joten kysytyn impedanssin on oltava R/2.

 

SUDOKU

TEK 4 -lehden sudokun ratkaisu.

DIVISIUM-3

TEK 4 -lehden Divisium-3 ratkaisu.

TEK 3/2023 -lehdessä julkaistujen Pakopulmien ratkaisut

Tehtävät: Veli-Matti Saarinen

Pakopulman ratkaisu.
Pakopulman ratkaisu.

TEK 3/2023 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut

Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Esa Vesalainen, Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1

Ongelma: Annelilla ja Brianilla on marsipaanipallo. He pilkkovat sen kolmeksi keskenään yhtä paksuksi viipaleeksi. Anneli syö päätykäntyt ja Brian keskimmäisen viipaleen. Jos oletamme aivan oikein, että elämän tarkoitus on syödyn marsipaanin maksimointi, kumpi voitti tässä prosessissa?

Pulmaa 1 havainnollistava piirrustus.

Ratkaisu: Valitkaamme mittayksiköt niin, että iloisen marsipaanipallomme säde on r = 1. Silloin pallon tilavuus on 4 * pi / 3. Koska yksi päätykäntty on tällöin muodoltaan pallosegmentti, jonka korkeus on h = 2 / 3, on kahden päätykäntyn tilavuus kaiken kaikkiaan

Pulman 1 marsipaanikaava.

Koska 14 / 27 > 1 / 2, Anneli voitti.

PULMA 2

Ongelma: Ankkavaaran sienikerhon jäsenet seisovat kirkon portailla ryhmävalokuvaa varten. Kirkon portaita on n kappaletta, missä n on positiivinen kokonaisluku. Kun he yrittävät asettua portaille niin, että jokaisella i = 1, 2, ..., n kirkon i. alimmalle portaalle menisi seisomaan 2i -1 henkilöä, jää ylimmiltä portailta puuttumaan 50 henkilöä. Kun he sen sijaan yrittävät asettua portaille niin, että jokaisella i = 1, 2, ..., n kirkon i. alimmalle portaalle menisi seisomaan i henkilöä, 41 henkilöä jää yli. Kuinka suuri on n?

Ratkaisu: Ensimmäisessä skenaariossa portaille yritetään saada 1 +3 +5 +... +(2n -1) = n² henkilöä. Koska viimeisiltä portailta jää puuttumaan 50 henkilöä, on sienikerholaisten lukumäärä m =n² -50.

Toisessa skenaariossa portailla pitäisi seisoa 1 +2 +3 +... +n = n(n +1) / 2 henkilöä. Siten on myös m = n(n +1) / 2 +41.

Voimme päätellä, että n² -50 = m = n² / 2 +n / 2 +41, eli n² / 2 -n / 2 -91 = 0. Ratkaisemalla tämän toisen asteen yhtälön saamme n = -13 tai n = 14. Koska negatiivinen arvo ei käy, voi olla vain  n = 14 .

PULMA 3

Ongelma: Tasoon piirretään suunnikas, jonka sivujen pituudet ovat a ja b, missä a ja b ovat annettuja positiivisia reaalilukuja. Suunnikkaan sivuille piirretään ulkopuolelle neliöt, ja vierekkäisten neliöiden lähekkäiset kärjet yhdistetään janoilla. Miten suunnikas pitää valita, jotta koko kuvion pinta-ala olisi mahdollisimman suuri?

Pulman 3 ongelman kuvio 1.

Ratkaisu: Olkoon suunnikkaan ala S, neliöiden yhteinen ala N, ja kolmioiden yhteinen ala K. On helppo vakuuttua siitä, että yhden kolmion ala on puolet suunnikkaan alasta. Nimittäin, jos kolmion suunnikkaan kärkeä vastaava kulma yhtä suuri kuin x, niin kolmion ala on ab * sin(x) / 2, eli puolet suunnikkaan alasta:

Pulman 3 ratkaisun kuvio.

Siten K = 2S. Koko kuvion ala on siis S +N +K = 3S +N. Koko kuvion maksimointi tarkoittaa siis suunnikkaan alan S maksimointia. Suunnikkaan ala on ab * sin(y), missä y on yksi suunnikkaan kulma. Tämä on enintään ab, ja yhtäsuuruus tapahtuu täsmälleen silloin, kun suunnikas on suorakulmio.

PULMA 4

Ongelma: Tarkastellaan käyrää y = ax²ⁿ, missä 0 < y < h, ja a ja h ovat positiivisia reaalivakioita. Pyöräytetään käyrä y-akselin ympäri. Korkeudella h pyörähdyskappaleen säde on r. Lisäksi pyörähdyskappaleen tilavuus on 2023 π r² h / 2024. Mikä on n?

Ratkaisu: Huomataan ensin, että h = ar⁽²ⁿ⁾, eli r = (h / a)⁽¹⁄⁽²ⁿ⁾⁾. Ratkaistaan lausekkeesta positiivinen muuttujan x arvo. Saadaan x = (y / a)⁽¹⁄⁽²ⁿ⁾⁾. Lasketaan tilavuus integroimalla:

Pulman 4 ratkaisu.

Siispä n / (1 +n) = 2023 / 2024, eli n = 2023.

 

SUDOKU

Sudokun ratkaisu 2023 lehti numero 3.

TEK 2/2023 -lehdessä julkaistujen Pulmien ja Sudokun ratkaisut

Tehtävät: Anne-Maria Ernvall-Hytönen ja Esa Vesalainen, Sudoku: Arto Inkala

PULMA 1

Ongelma: Florencella ja Yvonnella on neliönmuotoinen lauta, jonka sivun pituus on 2023. Yhdellä siirrolla Florence saa asettaa laudalle liilan yksikköneliön muotoisen nappulan tai poistaa laudalta liilan yksikköneliön muotoisen nappulan. Samoin Yvonne voi siirrollaan asettaa laudalle keltaisen yksikköneliön tai poistaa keltaisen yksikköneliön. Luonnollisesti nappulat eivät saa mennä päällekkäin. Florence aloittaa kahdella siirrolla, sitten Yvonne jatkaa kahdella siirrolla, ja he jatkavat tähän tapaan toistaen. Se pelaaja häviää, jonka vuorolla laudalla ei ole tilaa yhdellekään uudelle nappulalle. Onko Yvonnelle olemassa voittostrategia?

Pulman 1 ongelman havainnollistava kuvio.

Ratkaisu: Jos Yvonnella olisi voittostrategia, voisi Florence omia sen asettamalla laudalle ensin liilan nappulan ja sitten poistamalla sen, koska tämän jälkeenhän oltaisiin takaisin alkuasemassa, mutta aloittajan rooli olisi siirtynyt Yvonnelle!

PULMA 2

Ongelma: Mikä on suurin positiivinen kokonaisluku n jolle luku n²+2023 on jaollinen luvulla n+2023?

Ratkaisu: Luku n+2023 varmasti jakaa luvun (n+2023)(n-2023)=n²-2023². Siispä luku n+2023 jakaa luvun n²+2023 vain ja ainoastaan silloin, kun se jakaa luvun n²+2023-(n²-2023²)=2023²+2023. Isoin tällainen luku n+2023 on luonnollisesti 2023²+2023, joten isoin mahdollinen luku n on 2023²= 4 092 529.

PULMA 3

Ongelma: Pieni viaton karitsa ylittää siltaa, kun sen alta hyppää esiin hirmuisa matemaatikko. Matemaatikko julistaa: ''Jos vastaat seuraavaan kysymykseen oikein, voit jatkaa matkaasi. Jos sen sijaan vastaat väärin, päädyt aivan uudelle uralle ravitsemusalalle! Ajattelen joka päivä jotain lukua. Tänään ajattelemani luvun ja eilen ajattelemani luvun summa on kaksikymmentä, kun taas eilen ja tänään ajattelemieni lukujen käänteislukujen summa on viidesosa. Mitä lukua ajattelen tänään?'' Kuinka monta kertaa karitsan täytyy sanoa ''bää'' pelastuakseen matemaatikon kauhealta kidalta?

Ratkaisu: Karitsaparan on siis ratkaistava yhtälöpari

Pulman 3 ratkaisun yhtälöpari.

Jälkimmäisestä yhtälöstä voi ratkaista, että xy=5(x+y), jolloin xy=100. Nyt luvut x ja y voi ratkaista yhtälöstä (t-x)(t-y)=0, eli yhtälöstä t²-20t+100=0. Tämän ainoa ratkaisu on t=10, joten alkuperäisen yhtälöparin ainoa mahdollinen ratkaisu on x=y=10, joka itse asiassa onkin ratkaisu. Siten karitsan on pelastuakseen sanottava ''bää'' kymmenen kertaa.

PULMA 4

Ongelma. Ratkaise yhtälö sin²⁰²¹ x + cos²⁰²¹ x = sin²⁰²³ x + cos²⁰²³ x.

Ratkaisu: Kirjoitetaan yhtälö uusiksi muodossa (sin² x + cos² x) (sin²⁰²¹ x + cos²⁰²¹ x) = sin²⁰²³ x + cos²⁰²³ x, joka on yhtäpitävä yhtälön sin² x cos²⁰²¹ x + cos² x sin²⁰²¹ x = 0 kanssa. Siispä sin² x cos² x (sin²⁰¹⁹ x + cos²⁰¹⁹ x) = 0. Tulon nollasäännöllä sin x = 0 tai cos x = 0, eli

Pulman 4 yhtälö 5.

jollain kokonaisluvulla k, tai sin²⁰¹⁹ x = - cos²⁰¹⁹ x, eli sin x = - cos x, joten

Pulman 4 yhtälö 7.

jollain kokonaisluvulla k.

 

SUDOKU

Sudokun ratkaisu 2023 lehti numero 2.